一题多解，智慧再升华 ——浅谈教师在解题环

教学中，教师应深入挖掘试题价值，从多个维度去锁定试题的内在魅力和价值.某些试题蕴含着很多种解决方法，这些方法有的是一脉相承的，有的是从其他维度去分析而得出的，因此，教师需要从多个维度去剖析试题，只有这样，才能促进学生的成长.

原题呈现，信息转换

例题如图1，在边长为的正方形ABCD中，E，F分别是AB，BC的中点，连接EC，FD，G，H分别是EC，FD的中点，连接GH，则GH的长为______.

图1

对于题目的呈现，教师需要引导学生从题目中采集关键信息.这些信息隐含着部分其他信息，需要我们引导学生去分析.比如，根据题目所给的正方形ABCD的边长为，以及E，F分别为AB，BC的中点，就可以很快地得出BE=BF=AE=EC=，于是EC=FD=又G，H分别为EC，DF的中点，于是有EG=GC=DH=HF=.这些信息得出以后，我们还可以发现△EBC≌△FCD，从而获知∠BEF=∠DFC.因为∠ECB+∠BEC=90°，所以∠DFC+∠ECB=90°.进而可以证明EC⊥DF.

这些都是我们在解决此题过程中首先分析到的，也是需要首先引导学生重点分析的.这是我们在读题、解题、析题过程中的第一步，也是基础所在.

策略分析，多元突破

策略是将已知（包括结合已知推出的新内容）与未知之间建构起关键的桥梁，这些桥梁有些需要证明，有些需要转换，还有些需要我们作辅助线等来完成.就本题而言，我们可以达成的解法达十多种，本题结合几种特殊且具有代表性的解法同大家分享，以此开启一题多解的研讨.

1.策略一：直接求

记DF和EC的交点为O.在Rt△CDF中，根据面积法有FC·CD=FD·CO，于是可得根据勾股定理可求出所以在Rt△HGO中根据勾股定理即可求得GH=1.

分析上述方法是充分利用面积相等的方法求出相关的量，再结合直角关系，采用勾股定理来求解GH的长.除此以外，我们还可以通过其他方法来进行直接求解，只是这里需要利用辅助线来完成，即连接HC，如图2.结合“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”我们发现，HC=HF=.在Rt△HOC中根据勾股定理可求得HO=，接下来就和上面的方法一样，解出GH=1.

图2

2.策略二：中位线策略

中位线策略在几何图形中还是经常遇到的，尤其是遇到题目信息中有“中点”时.此时，我们需要充分锁定这一关键信息，并采用构建三角形、梯形等图形，利用中位线的方法来完成，以此满足遇中点，构造中位线的通法.以下是几种常见的中位线的构造方法，由于方法都比较相似，证明过程省略.具体辅助线如下：连接CH并延长，交AD 于点M，连接EM（如图3）；连接DG并延长，交AB的延长线于点M，连接FM（如图4）；连接BD，连接FG并延长分别交BD，AD于点M和点N（如图5）.

图3

图4

图5

此题的解决方法还有好几种，比如，连接CH并延长，交AD于点N，连接NG并延长到点M，使GM=NG，连接MC；或者连接EH并延长到点M，使HM=EH，连接MC，等等.这些作出中位线的方法对学生的能力提出了较高的要求，学生心中必须有这么一根中位线，它位于一个特殊的、自主建构的三角形或者四边形中，这种建构将某些量的大小建构起了一个桥梁，这个桥梁也是思维生长的桥梁.

3.策略三：“斜化正”策略

这种方法相对较难，但在常态的教学过程中，教师还是需要引领学生对这一环节进行思考，因为这在数学解题和训练过程中也属于一种转换法思想，这种思想能引领学生将已知量向未知量转换，且转换的不仅仅是量与量的衔接，更多的是一种思想、一种方法，这种思想和方法决定着学生思维习惯的养成和提升，也决定着思维高度的达成.比如，我们可以采用如下方法来作辅助线，以此构建相应的正方形，促进未知量的求解：连接GF，过点H作HM⊥BC交BC于点M，过点G作GN⊥HM，垂足为N（如图6）；连接EH，连接FG并延长交EH于点M（如图7）；连接EH，过点G作GN⊥AB，交AB于点N，过点G作GM⊥EH，垂足为M（如图8）.

图6

图7

图8

除此之外，我们还可以采用如下方法：过点G作GM⊥AD，垂足为M，过点H作HN⊥AD，垂足为N，过点H作HP⊥GM，垂足为P；连接EH并延长，交CD于点N，过点G作GM⊥CD，垂足为M，过点H作HP⊥GM，垂足为P.这些方法都可以完成刚才所述的转化和证明.

反思总结，教学相长

结合刚才的分析我们不难发现，刚才的这道题有十余种解法，除了以上方法之外，我们还可以找出更多的解法，比如“建系法”“模型法”等.为此，结合这种现状，我们需要做进一步的分析与反思，以此进一步服务于我们教学行为的深入，也进一步服务于学生学习能力的提升.

文章来源：《智慧健康》 网址: http://www.zhjkzz.cn/qikandaodu/2021/0118/1039.html